Счеты

простое механическое устройство для произведения арифметических расчётов, являются одним из первых вычислительных устройств

 Счёты представляют собой раму с нанизанными на спицы костяшками, обычно по 10 штук.

Счёты в XX веке часто использовали в магазинах, в бухгалтерском деле, для арифметических расчётов. С развитием прогресса их заменили электронные калькуляторы.

Железный прут в счётах, на котором находятся всего 4 костяшки, использовался для расчётов в полушках. 1 полушка была равна половине деньги, то есть четверти копейки, соответственно, четыре костяшки составляли одну копейку. Также этот прут может служить разделителем целой и дробной частей набранного на счётах числа, и в вычислениях не использоваться.

Способ счета

Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд, причём вверх от прута с четырьмя костяшками разряд возрастает от единиц до сотен тысяч, а вниз — уменьшается от десятых до тысячных. Максимальное значение для каждого ряда — десять, умноженное на вес разряда (для разряда единиц максимальное значение — 10, если все костяшки отложены влево, для десятков — 100 и так далее). «Набор» числа осуществляется сдвиганием костяшек из правого края прута в левый. Таким образом, максимальное число, которое можно набрать на счётах с семью рядами целых чисел, составляет 11`111`111,110.

После добавления к девяти костяшкам одного разряда десятой костяшки производится операция записи единицы переноса в следующий разряд, состоящая из трёх действий:

1. сдвигом влево одной костяшки к девяти костяшкам добавляется десятая костяшка;
2. сдвигом вправо всех десяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;
3. сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса.

Выполнением этого правила исключается любое неоднозначное представление чисел. С точки зрения теории систем счисления для действий в показательной единично кодированной десятичной позиционной системе счисления достаточно девяти костяшек, о чём пишет и Я. И. Перельман, при этом операция записи единицы переноса производилась бы за два действия вместо трёх действий:

1. сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса;
2. сдвигом вправо девяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;

но для удобства счета в русских счётах было выбрано число костяшек равное десяти, что соответствует единичнокодированной одиннадцатиричной системе счисления.

Пример счёта

Яркий пример использования счётов для решения задач приводится в рассказе Антона Чехова «Репетитор».

Гимназист-репетитор Егор Алексеич Зиберов задал малолетнему Пете Удодову задачу:

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное — 3 рубля.

Петя не смог решить её. Впрочем, и сам репетитор не справился, хотя знал, что «задача, собственно говоря, алгебраическая» и «ее с иксом и игреком решить можно». Действительно, если предположить, что х — это количество синего сукна, а у — черного, можно составить следующую систему уравнений:

х + у = 138

5х + 3у = 540

решив которую, получим, что y = 75, х = 63.

Однако современное — с помощью системы уравнений — решение этой задачи ведет к потере ее внутренней логики. Петин отец, отставной губернский секретарь Удодов, продемонстрировал другое решение:

«И без алгебры решить можно,— говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.— Вот, извольте видеть…» Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.

Это «щелканье на счетах» состояло в выполнении шести простейших арифметических действий.

Предположим, что все купленное сукно было синее. Тогда партия в 138 аршин стоила бы 5 * 138 = 690 рублей. Но это на 690—540 = 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. «Перерасход» в 150 рублей указывает на то, что в партии имелось более дешевое, черное, сукно — по 3 рубля за аршин. Этого сукна столько, что из двухрублевой разницы (5 — 3 = 2 рубля) получается 150 «лишних» рублей. То есть, 150 / 2 = 75 аршин черного сукна. Отсюда 138 — 75 = 63 аршин сукна синего.

На счетах данная задача решается следующим образом:

Прежде всего Удодов-старший «набирает» число 138: одна косточка на первой проволоке, три — на второй, восемь — на третьей. Затем он «умножает» 138 на 10 (мысленно переносит все косточки одним рядом выше) и «делит» на 2: на третьей проволоке, где отложено восемь косточек, откидывает четыре косточки; на средней проволоке из трех косточек откидывает одну, а оставшуюся мысленно заменяет десятью нижними и делит пополам, то есть добавляет пять косточек к тем, что находятся на следующей проволоке; на верхней проволоке убирает одну косточку, прибавляя пять к косточкам на второй проволоке. В результате на верхней проволоке косточек нет, на второй осталось шесть, на третьей — девять. Итого — 690. Далее Удодову-старшему нужно из 690 «вычесть» 540: со второй проволоки убирается пять косточек, с третьей — четыре. Остается 150. Теперь 150 нужно «поделить» пополам — получается 75. Затем из 138 нужно «вычесть» 75 — получается 63.